학교 옮길 때 출입국 관리 사무소 예약은 제가 해야 하나요?

안녕하세요! 현재 첫 해의 교직 생활을 마무리하고 있는 외국인 교사입니다. 다름이 아니라, 계약이 5월에 끝나면서 강남 지역에 있는 새로운 학교로 옮기려고 준비 중인데요. 새로운 직장을 구하는 과정에서 출입국 관리 사무소에 예약을 제가 직접 해야 하는 건지, 아니면 새로운 학교에서 이 부분을 처리해 주는 건지 궁금합니다. 계약 만료 후 새로운 학교에서 일을 시작하기 전, 출입국 관련 절차에 대해 제가 알아서 준비해야 하는 부분이 있는지 조언 부탁드립니다. 혹시 비슷한 경험이 있으신 분들의 조언이나 정보 공유 부탁드려요. 감사합니다!